Вижу 2 варианта подачи воздуха в каналы: естественная циркуляция воздуха и принудительная.
Для естественной циркуляции потребуется большой диаметр воздуховодов, чтобы обеспечить требуемое количество тепла, подаваемого с воздухом. Расчет довольно сложен, я не осилю. Еще один недостаток: открытие/закрытие дверей между помещениями будет в значительной степени влиять на интенсивность циркуляции, а значит, и на количество переносимого тепла. Если в комнату поступает N кубометров нагретого воздуха в час, то такое же количество должно вернуться обратно к камину, т.е. дверь не должна быть закрыта.
Принудительная вентиляция в меньшей мере зависима от состояния дверей, поскольку воздух будет продавливаться через неплотности в дверях, но всё же зависимость будет иметь место. В таком варианте, диаметр воздуховодов можно будет уменьшить, но избавиться полностью от шума не получится. Чем меньше диаметр, тем больше скорость движения воздуха и сильнее шум (при одинаковом N). Часовой объём N можно уменьшить, если увеличить температуру нагрева воздуха.
Я не специалист по вентиляции, всего лишь вспомнил курс "Вентиляция и кондиционирование", который нам дали в институте, 45 лет назад. Считаю, что, прежде чем проектировать такую систему, следует поручить специалисту хотя бы прикидочный расчёт, чтобы результат не разочаровал и усилия не пропали даром.
P.S. И вот ещё. Из приведенной схемы можно понять, что по воздуховодам в помещения раздаются газообразные продукты горения... Предполагаю, что схема упрощённая и на ней не показан теплообменник, в котором уходящие из камина газы нагревают раздаваемый воздух. Наличие такового обязательно. Отсюда вытекает недостаток этой системы - необходимость чистки теплообменника от копоти, что более трудоёмко, нежели чистка прямого дымохода.